Предельные теоремы в схеме Бернулли. Локазьная и интегральная предельная теоремы Муавра-Лапласа. Теорема Пуассона. Примеры.

Предельные теоремы в схеме Бернулли. 

Так как ν_n число успехов в последовательности из n независимых испытаний Бернулли, можно представить в виде:

 (1)

где  - независимые одинаково распределенные бернуллиевские случайные величины. Мы знаем в явном виде распределение ν_n, а именно: , где p - вероятность успеха в единичном испытании. Вместе с тем, во многих задачах приходится находить вероятности P_n,p(k) при больших значениях n. Это может вызвать значительные вычислительные трудности ввиду громоздкости биномиальных коэффициентов  и необходимости возводить числа p и (1 − p) в высокие степени. Ниже мы рассмотрим две важные предельные ситуации, когда биномиальное распределение может быть приближено другими распределениями.

Локальная и интегральная предельная теоремы Муавра-Лапласа. 

Пусть в каждом из  независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью ,  (условия схемы Бернулли). Обозначим как и раньше, через  вероятность ровно  появлений события А в  испытаниях. кроме того, пусть – вероятность того, что число появлений события А находится между  и .

Локальная теорема Лапласа.

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

 где  - функция Гаусса (функция табулирована, таблицу можно скачать на странице формул по теории вероятностей).

Интегральная теорема Лапласа.

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

P(n; k1, k2) где - функция Лапласа (функция табулирована, таблицу можно скачать на странице формул по теории вероятностей).

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций:

а) 

б) при больших  верно .

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при . Причем чем ближе значения  к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность (по сравнению с исходной формулой Бернулли).

Пример. Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества.

Решение. По условию , откуда

По таблицам найдем .

Искомая вероятность равна: 

Теорема Пуассона. 

Теорема Пуассона:

Пусть ,  таким образом, что, где a > 0 - заданное число. Тогда для любого фиксированного k

.

Другими словами, в описанном предельном переходе биномиальные вероятности P_n,p(k) аппроксимируются пуассоновским распределением.

Независимые испытания Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов. Полиномиальная схема. Примеры.

Независимые испытания Бернулли. 

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

1) многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну;

2) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой (роль пристрелки не учитывается).

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А$А$ в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события А$А$ в единичном испытании буквой р$р$, т.е. p=P(A)$p=P(A)$, а вероятность противоположного события (событие А$А$ не наступило) - буквой q=P(A¯¯¯¯)=1−p$q=P(\overline{A})=1-p$.

Формула Бернулли.

Распределение числа успехов (появлений события) носит название биномиального распределения.

Пример. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности
, .
По формуле Бернулли требуемая вероятность равна
.

Наивероятнейшее число успехов. 

Биномиальное распределение (распределение по схеме Бернулли) позволяет, в частности, установить, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов  (появлений события) имеет вид:

Так как , то эти границы отличаются на 1. Поэтому , являющееся целым числом, может принимать либо одно значение, когда  целое число () , то есть когда (а отсюда и ) нецелое число, либо два значения, когда  целое число.

Пример. При автоматической наводке орудия вероятность попадания по быстро движущейся цели равна 0,9. Найти наивероятнейшее число попаданий при 50 выстрелах.

Решение. Здесь . Поэтому имеем неравенства:

Следовательно, .

Полиномиальная схема.

Рассмотрим опыт, состоящий в n-кратном повторении одинаковых независимых испытаний, в каждом может произойти одно и только одно из m несовместных событий А₁, А₂, …, А_m, причем каждое событие А_i может произойти с вероятностью р_i. Такой опыт называют полиномиальной (мультиноминальной) схемой.

Вероятность того, что в n испытаниях событие А₁ произойдет равно k₁ раз, событие А₂ произойдет равно k₂ раз, …, событие А_m произойдет равно k_m раз (причем k₁ + k₂ + … + k_m = n) равна

 (1.38)

Пример 1.66. В некотором государстве живут 60% блондинов, 25% брюнетов и 15% шатенов. Найдем вероятность того, что среди восьми наугад отобранных подданных этого государства окажутся четыре блондина, три брюнета и один шатен.

В данном случае мы имеем дело с полиномиальной схемой, в которой m=3; p₁=0,6; p₂=0,25; p₃=0,15; n=8; k₁=4; k₂=3; k₃=1.

Согласно формуле (1.38) искомая вероятность равна

Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры.

Формула полной вероятности. 

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события Авычисляется по формуле

.

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых . Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез .

Формула Байеса

По теореме умножения вероятностей

,

откуда

.

Аналогично, для остальных гипотез

Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез  называются апостериорными вероятностями, тогда как  - априорными вероятностями.

Пример. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта.

Решение. Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через  обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям.

Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:

Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность:

Условные вероятности. Независимость событий. Примеры.

Условные вероятности. 

Условной вероятностью  (два обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

.

В частности, отсюда получаем
.

Пример. В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом вынимании. Событие А – появление белого шара при втором вынимании.

Решение. Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет
.
Вероятность события А при условии, что событие В не произошло, будет
.

Независимость событий. 

События А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло или нет другое событие.
Есть 2 события : А и В. Если P(A|B) = P(A),то говорят, что А не зависит от В.
P(AB)/P(B) = P(A), следовательно:
События А и В называются независимыми, если вероятность их совместного наступления

P(AB) = P(A)*P(B)

Классическое и статистическое определения вероятности. Геометрические вероятности. Примеры.

Классическое и статистическое определения вероятности. 

Геометрические вероятности.

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:
,
где m(G), m(A) – геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов и события А.

Пример. На плоскость, разграфленную параллельными полосами шириной 2d, расстояние между осевыми линиями которых равно 2D, наудачу брошен круг радиуса r (). Найти вероятность того, что круг пересечет некоторую полосу.

Решение. В качестве элементарного исхода этого испытания будем считать расстояние x от центра круга до осевой линии ближайшей к кругу полосы. Тогда все пространство элементарных исходов – это отрезок . Пересечение круга с полосой произойдет в том случае, если его центр попадет в полосу, т.е. , или будет находится от края полосы на расстоянии меньшем чем радиус, т.е. .

Для искомой вероятности получаем: .

Вероятностное пространство. Свойства вероятностей.

Вероятностное пространство.

Свойства вероятностей.