Независимость нескольких случайных величин. Связь с коэффициентом корреляции. Условные законы распределения. Примеры.

Независимость нескольких случайных величин. 

Случайные величины  называют независимыми (в совокупности), если для любого набораборелевских множеств  , ...,  имеет место равенство:

Связь с коэффициентом корреляции. 

Коэффициент корреляции - это сила и направление связи между независимой и зависимой переменными. Значения r находятся в диапазоне между - 1.0 и + 1.0. Когда r имеет положительное значение, связь между х и у является положительной, а когда значение r отрицательно, связь также отрицательна. Коэффициент корреляции, близкий к нулевому значению, свидетельствует о том, что между х и у связи не существует.

Условные законы распределения. Примеры.

Условным распределением составляющей X при Y = y_j называют совокупность условных вероятностей P(x₁½y_j), P(x₂½y_j), …, P(x_n½y_j), вычисленных в предположении, что событие Y = y_j (j имеет одно и то же значение при всех возможных значениях X) уже наступило.

Аналогично определяется условное распределение составляющей Y.

Условный закон распределения X в предположении, что событие
Y = y₁ уже произошло, может быть найден по следующей формуле:

 . (77)

В общем случае условные законы для составляющей X могут быть представлены в виде формуле

 . (78)

Для составляющей Y условные законы определяются формулой

 . (79)

Пример 3.2. Найти условный закон распределения составляющей X при условии, что составляющая Y приняла значение y₁ и двумерная случайная величина (Х, Y) задана таблицей:

X Y	x1	x2	x3
y1	0,10	0,30	0,20
y2	0,06	0,18	0,16

Решение. Используя формулу

 ,

где P(y₁) = 0,10 + 0,30 + 0,20 = 0,60, находим:

 ;

 ;

 .

Для проверки вычислений просуммируем найденные вероятности:

 .

Искомый условный закон распределения X может быть записан в виде таблицы

X	x1	x2	x3

Аналогично найдем условный закон распределения Y, который приведен в виде следующей таблицы:

Y	y1	y2

Проверка:  .