Функции от случайных величин. Закон распределения функции от одной и двух случайной величины. Примеры.

Функции от случайных величин. 

Если x - случайная величина с областью значений X_x и функция f(x) определена на множестве X_x , то h = f(x) - тоже случайная величина. Задача об отыскании функции распределения случайной величины h по известной функции распределения случайной величины x легко решается, если f(x) - непрерывная монотонно возрастающая функция. Доказано, что тогда функция распределения Fh(x) случайной величины h задается формулой Fh (x)=F_x ([f(x)]^-1).

Здесь F_x (x) - известная функция распределения случайной величины x , а символом [f(x)]^-1обозначена функция, обратная к функции f(x).

Плотность распределения случайной величины h для дифференцируемой f(x) вычисляется по формуле

.

Закон распределения функции от одной и двух случайной величины. 

Определение. Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y ставится в соответствие одно возможное значение случайной величины Z, то это означает, что Z является функцией двух случайных аргументовX и Y.Покажем, как найти распределение Z, если распределения X и Y нам известны.

1. Пусть аргумент X и Y — дискретные независимые случайные величины.Если различным значениям аргументов X и Yсоответствуют различные значения функции  , а законы их распределений имеют вид:

   X	x1	x2	x3	x4	…	xn
   P	p1(x)	p2(x)	p3(x)	p4(x)	…	pn(x)

   Y	y1	y2	y3	y4	…	ym
   P	p1(y)	p2(y)	p3(y)	p4(y)	…	pm(y)

   В этом случае закон распределения функции  будет:

   Z					…
   P					…

   Если среди значений  есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений Z, как это делается в случае функции одного случайного аргумента.Пример 40.1Имеются 2 случайные величины X и Y, распределенные следующим образом:

   X	1	2
   P	0,3	0,7

   Y	2	3
   P	0,4	0,6

   Определить распределение случайной величины .Решение. Возможные значения Z есть произведение каждого возможного значенияX на каждое возможное значение Y:.Вероятности вычисляются умножением соответствующих вероятностей. В результате получим закон распределения:

   Z	2	3	8	12
   P	0,12	0,18	0,28	0,42

2. Пусть X и Y — непрерывные случайные величины с плотностями распределения  и . Доказано, что если X и Y — независимы, то плотность распределения  суммы  определяется равенством:.Если возможные значения аргументов неотрицательны, то  определяется формулой:.

Плотность распределения суммы независимых случайных величин называют композицией.Закон распределения вероятностей называется устойчивым, если композиция из таких законов дает тот же самый закон. Например, нормальный закон распределения устойчив. Если X и Y распределены нормально с математическими ожиданиями a₁ и a₂ и дисперсиями D₁ иD₂, то композиция этих величин также распределена нормально, причем ее математическое ожидание и дисперсия есть a₁ + a₂ и D₁ + D₂.Пример 40.2Имеются 2 случайные величины X и Y, распределенные следующим образом:.Найти плотность распределения (композицию) .Решение..