Основные виды распределений дискретных и непрерывных случайных величин: биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое, пуассоновское, равномерное, показательное распределения. Их числовые характеристики

Основные виды распределений дискретных и непрерывных случайных величин: биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое, пуассоновское, равномерное, показательное распределения. Их числовые характеристики

Биномиальное распределение

Пусть проводится серия из n независимых испытаний, каждое из которых заканчивается либо “успехом” либо “неуспехом”. Пусть в каждом испытании (опыте) вероятность успеха p, а вероятность неуспеха q = 1- p. С таким испытанием можно связать случайную величину x , значение которой равно числу успехов в серии из n испытаний. Эта величина принимает значения от 0 до n. Ее распределение называется биномиальным и определяется формулой Бернулли

, 0 < p <1, k = 0, 1, …, n, , Mx = np, Dx =npq, .

Геометрическое распределение

Со схемой испытаний Бернулли можно связать еще одну случайную величину x - число испытанийдо первого успеха. Эта величина принимает бесконечное множество значений от 0 до + и ее распределение определяется формулой

p_k = P(x= k) = q^k-1 p, 0 <p <1, k=1, 2, … , , , .

Гипергеометрическое распределение

В партии из N изделий имеется M (M < N) доброкачественных и N - M дефектных изделий. Если случайным образом из всей партии выбрать контрольную партию из n изделий, то число доброкачественных изделий в контрольной партии - случайная величина, которую обозначим x. Распределение такой случайной величины называется гипергеометрическим и имеет вид:

, k = 0, 1, …, min(n,M), ,

, .

Пуассоновское распределение

Пуассоновское распределение c параметром l имеет случайная величина x , принимающая целые неотрицательные значения k = 0, 1, 2, … с вероятностями p_k:

, , Mx =l, Dx = l , l > 0 - параметр распределения.

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина x , принимающая значения на отрезке [a, b], распределена равномерно на [a, b], если ее плотность распределения p_x (x) и функция распределения F_x (x ) имеют соответственно вид:

  , .

Экспоненциальное (показательное) распределение

Непрерывная случайная величина x имеет показательное распределение с параметром l > 0, если она принимает только неотрицательные значения, а ее плотность распределения p_x (x )и функция распределения F_x (x) имеют соответственно вид:

  , .