Центральная предельная теорема. Примеры.

Мы будем называть следующее утверждение «ЦПТ Ляпунова⁽¹⁾», но сформулируем и докажем теорему Ляпунова только в частном случае — для последовательности независимых и одинаково распределённых случайных величин. Как и ранее, через  обозначена сумма первых  случайных величин в последовательности: .

Теорема 37   (ЦПТ Ляпунова). Пусть  — независимые и одинаково распределённые случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией: . Тогда имеет место слабая сходимость

последовательности «центрированных и нормированных» сумм случайных величин к стандартному нормальному распределению.

Пользуясь определением и свойствами слабой сходимости, и заметив, что функция распределения  любого нормального закона непрерывна всюду на  (почему?), утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов:

Следствие 20. Пусть  — независимые и одинаково распределённые случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией. Тогда выполнены утверждения:

а)

для любых вещественных  при  имеет место сходимость

б)

если  — произвольная случайная величина со стандартным нормальным распределением, то

Замечание 27. Еще раз напомним, что функция распределения стандартного нормального закона ищется либо по соответствующей таблице в справочнике, либо с помощью какого-либо программного обеспечения, но никак не путем нахождения первообразной.

Мы докажем ЦПТ и ЗБЧ в форме Хинчина чуть позднее. Нам потребуется для этого познакомиться с мощным математическим инструментом, который в математике обычно называют «преобразованиями Фурье», а в теории вероятностей — «характеристическими функциями».