Закон распределения композиции двух случайных величин. Примеры.

Закон распределения композиции двух случайных величин.

Одна из важнейших для практики частной задачи, а именно – нахождение закона распределения суммы двух случайных величин.

Пусть имеется система СВ (X,Y) с плотностью распределения f(x,y). Рассмотрим сумму СВ X и Y Z=X+Y и найдем закон распределения случайной величины Z. Для этого построим линию на плоскости ХОУ линию Z=X+Y. Она делит плоскость на две части Z>X+Y и Z<X+Y. Согласно определению функции распределения:

Дифференцируем это выражение по переменной Z, входящей в верхний предел внутреннего интеграла, получим

(13.1)

Это – общая формула для определения плотности распределения суммы двух случайных величин. Т.к. задача симметрична, то :

. (13.2)

Особое практическое значение имеет случай, когда складываемые СВ (X,Y) независимы. Тогда говорят о композиции законов распределения.

Для независимых случайных величин X и Y

f(x, y) = f_х(x)f_у(y) Þ (12.5) и (12.6) Þ Þ

 и .

Для обозначения композиции законов применяют символическую запись:.

Закон распределения вероятностей называют устойчивым, если композиция таких законов есть тот же закон (отличающийся только параметрами). Нормальный закон обладает свойством устойчивости.

КОМПОЗИЦИЯ НОРМАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ

Рассмотрим две независимые с.в. Х и У, подчиненные нормальным законам:

 и 

Требуется найти композицию этих законов, т.е. найти закон распределения величины Z=X+Y.

Применяем общую формулу для композиции законов распределения:

. (13.3)

Раскрываем скобки в показателе степени подынтегральной функции и приводим подобные члены, получаем

, (13.4)

где

Используя интеграл Эйлера-Пуассона: , получаем

 Подставляем значения А, В, С в эту формулу и после преобразований, получаем:

 - это и есть нормальный закон с центром рассеивания  и средне квадратическим отклонением

Итак, при композиции нормальных законов получается нормальный закон, причем МО и дисперсии(или квадраты с.к.о.) суммируются.