Одномерные случайные величины. Функция и плотность распределения вероятностей и их свойства. Примеры.

Одномерные случайные величины. 

Одномерной случайной величиной , или просто случайной величиной, называют любую числовую функцию, определенную на пространстве элементарных событий .

Примеры.

1.       Рассмотрим пространство элементарных событий, которое получается в результате независимых бросаний двух монет. В этом примере пространство элементарных событий состоит из четырех элементарных событий, которым сопоставляется вероятность 1/4. Определим теперь на этом пространстве случайную величину , равную числу гербов, появившихся при бросании двух монет. Очевидно, что значения случайной величины  есть 0, 1, 2, и случайная величина принимает эти значения с вероятностями 0,25, 0,5, 0,25, соответственно.

Функция и плотность распределения вероятностей и их свойства. 

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

Если x .- случайная величина, то функция F(x) = F_x (x) = P(x < x) называется функцией распределения случайной величины x . Здесь P(x < x) - вероятность того, что случайная величина xпринимает значение, меньшее x.

Важно понимать, что функция распределения является “паспортом” случайной величины: она содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют простораспределением.

Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

• F(x) определена на всей числовой прямой R;
• F(x) не убывает, т.е. если x₁x₂, то F(x₁) F(x₂);
• F(-)=0, F(+)=1, т.е.  и ;
• F(x) непрерывна справа, т.е.