Студент МТУСИ: Предельные теоремы в схеме Бернулли. Локазьная и интегральная предельная теоремы Муавра-Лапласа. Теорема Пуассона. Примеры.

воскресенье, 10 января 2016 г.

Предельные теоремы в схеме Бернулли. Локазьная и интегральная предельная теоремы Муавра-Лапласа. Теорема Пуассона. Примеры.

Предельные теоремы в схеме Бернулли.

Так как

ν n

число успехов в последовательности из

n

независимых испытаний Бернулли, можно представить в виде:

$\nu_n=\xi_1+\cdots+\xi_n$ (1)

где $\xi_1,\dots,\xi_n$ - независимые одинаково распределенные бернуллиевские случайные величины. Мы знаем в явном виде распределение

ν n

, а именно: $P_{n,p}(k){=}P\{\nu_n=k\}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$ , где

p

- вероятность успеха в единичном испытании. Вместе с тем, во многих задачах приходится находить вероятности

P n, p (k)

при больших значениях

n

. Это может вызвать значительные вычислительные трудности ввиду громоздкости биномиальных коэффициентов $C_n^k$ и необходимости возводить числа

p

(1 - p)

в высокие степени. Ниже мы рассмотрим две важные предельные ситуации, когда биномиальное распределение может быть приближено другими распределениями.

Локальная и интегральная предельная теоремы Муавра-Лапласа.

Пусть в каждом из

независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью

(условия схемы Бернулли). Обозначим как и раньше, через

вероятность ровно

появлений события А в

испытаниях. кроме того, пусть

– вероятность того, что число появлений события А находится между

Локальная теорема Лапласа.

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

где

- функция Гаусса (функция табулирована, таблицу можно скачать на странице формул по теории вероятностей).

Интегральная теорема Лапласа.

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

P(n; k1, k2)

где

- функция Лапласа (функция табулирована, таблицу можно скачать на странице формул по теории вероятностей).

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций:

а)

б) при больших

верно

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при

. Причем чем ближе значения

к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность (по сравнению с исходной формулой Бернулли).

Пример. Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества.

Решение. По условию