Независимые испытания Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов. Полиномиальная схема. Примеры.

Независимые испытания Бернулли. 

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

1) многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну;

2) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой (роль пристрелки не учитывается).

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А$А$ в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события А$А$ в единичном испытании буквой р$р$, т.е. p=P(A)$p=P(A)$, а вероятность противоположного события (событие А$А$ не наступило) - буквой q=P(A¯¯¯¯)=1−p$q=P(\overline{A})=1-p$.

Формула Бернулли.

Распределение числа успехов (появлений события) носит название биномиального распределения.

Пример. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности
, .
По формуле Бернулли требуемая вероятность равна
.

Наивероятнейшее число успехов. 

Биномиальное распределение (распределение по схеме Бернулли) позволяет, в частности, установить, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов  (появлений события) имеет вид:

Так как , то эти границы отличаются на 1. Поэтому , являющееся целым числом, может принимать либо одно значение, когда  целое число () , то есть когда (а отсюда и ) нецелое число, либо два значения, когда  целое число.

Пример. При автоматической наводке орудия вероятность попадания по быстро движущейся цели равна 0,9. Найти наивероятнейшее число попаданий при 50 выстрелах.

Решение. Здесь . Поэтому имеем неравенства:

Следовательно, .

Полиномиальная схема.

Рассмотрим опыт, состоящий в n-кратном повторении одинаковых независимых испытаний, в каждом может произойти одно и только одно из m несовместных событий А₁, А₂, …, А_m, причем каждое событие А_i может произойти с вероятностью р_i. Такой опыт называют полиномиальной (мультиноминальной) схемой.

Вероятность того, что в n испытаниях событие А₁ произойдет равно k₁ раз, событие А₂ произойдет равно k₂ раз, …, событие А_m произойдет равно k_m раз (причем k₁ + k₂ + … + k_m = n) равна

 (1.38)

Пример 1.66. В некотором государстве живут 60% блондинов, 25% брюнетов и 15% шатенов. Найдем вероятность того, что среди восьми наугад отобранных подданных этого государства окажутся четыре блондина, три брюнета и один шатен.

В данном случае мы имеем дело с полиномиальной схемой, в которой m=3; p₁=0,6; p₂=0,25; p₃=0,15; n=8; k₁=4; k₂=3; k₃=1.

Согласно формуле (1.38) искомая вероятность равна