7) Производные функции sin x, cos x, tg x, ctg x, ax, logax, xa, arcsin x, arctg x, arcos(x) arcctg(x), sh x, ch x, th x, cth x (вывод формул).

Теорема 6. (производная логарифмической функции) 

Доказательство

Вначале докажем теорему для функции y = ln x. Если аргумент x получит приращение Δx, то функция y = ln x получит приращение 

Воспользовавшись вторым замечательным пределом, свойствами предела функции и свойствами логарифмической функции, получаем

Теперь, так как  то, вынося постоянную за знак производной, получаем

Теорема доказана.

Теорема 7. (производная степенной функции) 

Доказательство

Так как , то дифференцируя это равенство, получаем

Теорема доказана.

Теорема 8. (производная показательной функции) 

Доказательство

Так как , то, дифференцируя это равенство, получаем

Теорема доказана.

Теорема 9. (производные тригонометрических функций)

Доказательство

Если аргумент x получит приращение Δx, то функция y = sin x получит приращение

Воспользовавшись первым замечательным пределом и свойствами предела функции, получаем

Утверждение 1) доказано. Утверждение 2) доказывается аналогично, заметим только, что приращение функции y = cos x можно записать так:

Для доказательства утверждения 3) используем утверждения 1), 2) данной теоремы и теорему 3. Имеемs

Утверждение 3) доказано. Утверждение 4) доказывается аналогично.

Теорема доказана.

Теорема 10. (производные обратных тригонометрических функций)

Доказательство

Если y = arcsin x, то x = sin y. Получаем . Тогда  и утверждение 1) доказано. Остальные утверждения теоремы доказываются аналогично.

Теорема доказана.