Преобразование координат при переходе к новому базису

Пусть ^A:Xn → Xn — линейный оператор. Зададим в Xn два базиса: "старый" базис e = (e1, e2,  … , en) и "новый" базис f = (f1, f2,  … , fn) .

Матрицей перехода от базиса e к базису f называется матрица C = (cik)    (i,k = 1, … ,n) , столбцами которой являются координатные столбцы векторов f1, f2,  … ,fn в базисе e , т.е.

f1 = c11 e1 + c21 e2 + … + cn1 en,
f2 = c12 e1 + c22 e2 + … + cn2 en,
… … … … … …  ,
fn = c1n e1 + c2n e2 + … + cnnen,

или в матричной форме:

f = eC

(1)

где C — матрица перехода

C =

ж з з з з и

c11 c12 … c1n c21 c22 … c2n … … … … cn1 cn2 … cnn

ц ч ч ч ч ш

Замечание. В силу линейной независимости базисных векторов матрица C — невырожденная ( det C ≠ 0 ). Следовательно, Cимеет обратную матрицу C − 1 .

Теорема 1. Преобразование координат вектора при переходе от "старого" базиса e к "новому" базису f определяется формулой:

X\f = C − 1X\e.

(2)

Доказательство. Обозначим координатные столбцы произвольного вектора
x О Xn в "старом" базисе e

Xe =

ж з з з з и

x1 x2 … xn

ц ч ч ч ч ш

и в "новом" базисе f

Xf =

ж з з з з и

x'1 x'2 … x'n

ц ч ч ч ч ш

Произвольный вектор x в базисе e имеет вид:

x = eXe

(3)

В базисе f тот же вектор имеет вид:

x = fXf

и в силу формулы (1)

x = eCXf.

(4)

Сравнивая формулы (3) и (4), получаем

X\e = C · Xf.

Умножая это равенство слева на C −1 , получаем формулу (2), которую требовалось доказать.