Расстояние между двумя параллельными прямыми.

Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Для наглядности изобразим две параллельные прямые a и b, отметим на прямой апроизвольную точку М₁, опустим перпендикуляр из точки М₁ на прямую b, обозначив его H₁. Отрезок М₁H₁ соответствует расстоянию между параллельными прямыми a и b.

Приведенное определение расстояния между двумя параллельными прямыми справедливо как для параллельных прямых на плоскости, так и для прямых в трехмерном пространстве. Более того, такое определение расстояния между двумя параллельными прямыми принято не случайно. Оно тесно связано со следующей теоремой.

Теорема.

Все точки одной из двух параллельных прямых удалены на одинаковое расстояние от другой прямой.

Доказательство.

Рассмотрим параллельные прямые a и b. Отметим на прямой a точку М₁, опустим из нее перпендикуляр на прямую b. Основание этого перпендикуляра обозначим как H₁. Тогда длина перпендикуляра М₁H₁ есть расстояние между параллельными прямыми a и b по определению. Докажем, что  равно , где М₂ – произвольная точка прямойa, отличная от точки M₁, а H₂ – основание перпендикуляра, проведенного из точки М₂ на прямую b. Доказав этот факт, мы докажем и саму теорему.

Так как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны (об этом говорилось в статье параллельные прямые, параллельность прямых), то , а прямая M₂H₂, перпендикулярная прямой b по построению, перпендикулярна и прямой a. Тогда треугольники М₁H₁H₂ и М₂М₁H₂ прямоугольные, и, более того, они равны по гипотенузе и острому углу: М₁H₂ – общая гипотенуза, . Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, поэтому, . Теорема доказана.

Следует заметить, что расстояние между двумя параллельными прямыми является наименьшим из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.

Нахождение расстояния между параллельными прямыми

Итак, нахождение расстояния между параллельными прямыми сводится к нахождению длины перпендикуляра, проведенного из некоторой точки одной из прямых на другую прямую. При этом подбирается метод, позволяющий это расстояние отыскать. Выбор метода зависит от условий конкретной задачи. В некоторых случаях можно использовать теорему Пифагора, в других - признаки равенства или подобия треугольников, определения синуса, косинуса или тангенса угла и т.п. Если же параллельные прямые заданы в прямоугольной системе координат, то расстояние между заданными параллельными прямыми можно вычислить методом координат. На нем и остановимся.

Сформулируем условие задачи.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат, заданы две параллельные прямые a и b и требуется найти расстояние между этими прямыми.

Решение этой задачи строится на определении расстояния между параллельными прямыми -чтобы найти расстояние между двумя заданными параллельными прямыми нужно:

• определить координаты некоторой точки М₁, лежащей на прямой a (или на прямойb);
• вычислить расстояние от точки М₁ до прямой b (или a).

С определением координат точки М₁, лежащей на какой-нибудь из заданных параллельных прямых, проблем не возникнет, если, конечно, Вам знакомы основные виды уравнения прямой на плоскости и уравнения прямой в пространстве. Для нахождения расстояния от точки М₁ до нужной из заданных параллельных прямых Вам будет полезна информация из разделанахождение расстояния от точки до прямой.

В частности, если в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости прямую a задает общее уравнение прямой вида , а прямую b, параллельную прямой a, - общее уравнение прямой , то расстояние  между этими параллельными прямыми можно вычислить по формуле .

Покажем вывод этой формулы.

Возьмем точку , которая лежит на прямой a, тогда координаты точки М₁удовлетворяют уравнению , то есть, справедливо равенство , откуда имеем .

Если , то нормальное уравнение прямой b имеет вид , а если , то нормальное уравнение прямой bимеет вид . Тогда при  расстояние от точки до прямой b вычисляется по формуле , а при  - по формуле

То есть, при любом значении С₂ расстояние  от точки  до прямой b можно вычислить по формуле . А если учесть равенство , которое было получено выше, то последняя формула примет вид . На этом вывод формулы для вычисления расстояние между двумя параллельными прямыми, заданными общими уравнениями прямых вида  и  завершен.

Разберем решения примеров.

Начнем с нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми, заданными в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости.