Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение.

Прежде чем дать определение расстояния между скрещивающимися прямыми, напомним определение скрещивающихся прямых и докажем теорему, связанную со скрещивающимися прямыми.

В разделе взаимное расположение прямых в пространстве мы упоминали, что две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема.

Через каждую из скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, которой параллельна другая прямая.

Доказательство.

Пусть даны скрещивающиеся прямые a и b. Докажем, что через прямую b проходит единственная плоскость, параллельная прямой a (абсолютно аналогично можно будет доказать, что через прямую a проходит плоскость, параллельная прямой b, притом только одна). Это будет служить доказательством теоремы.

Отметим на прямой b некоторую точку Q. В статье параллельные прямые, параллельность прямых была доказана теорема, гласящая, что через произвольную точку пространстве проходит единственная прямая, параллельная заданной прямой. Следовательно, через точку Q можно провести единственную прямую, параллельную прямой a. Обозначим ее a₁.

В разделе способы задания плоскости мы упоминали, что через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость (что следует из аксиомы о плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой). Следовательно, через пересекающиеся прямые b и a₁ проходит единственная плоскость. Обозначим ее .

Признак параллельности прямой и плоскости позволяет утверждать, что прямая aпараллельна плоскости  (так как прямая a параллельна прямой a₁, лежащей в плоскости ).

Единственность плоскости  следует из единственности прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной прямой.

Теперь можно переходить непосредственно к определению расстояния между скрещивающимися прямыми. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми дается через расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью.

Определение.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую.

В свою очередь расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью есть расстояние от некоторой точки прямой до плоскости. Тогда справедлива следующая формулировка определения расстояния между скрещивающимися прямыми.

Определение.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.

Рассмотрим скрещивающиеся прямые a и b. Отметим на прямой a некоторую точку М₁, через прямую b проведем плоскость , параллельную прямой a, и из точки М₁ опустим перпендикуляр М₁H₁ на плоскость . Длина перпендикуляра M₁H₁ есть расстояние между скрещивающимися прямыми a и b.

К началу страницы

Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми – теория, примеры, решения.

При нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми основная сложность часто заключается в том, чтобы увидеть или построить отрезок, длина которого равна искомому расстоянию. Если такой отрезок построен, то в зависимости от условий задачи его длина может быть найдена с помощью теоремы Пифагора, признаков равенства или подобия треугольников и т.п. Так мы и поступаем при нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми на уроках геометрии в 10-11 классах.

Если же в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz и в ней заданы скрещивающиеся прямые a и b, то справиться с задачей вычисления расстояния между заданными скрещивающимися прямыми позволяет метод координат. Давайте его подробно разберем.

Пусть  - плоскость, проходящая через прямую b, параллельно прямой a. Тогда искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b по определению равно расстоянию от некоторой точки М₁, лежащей на прямой a, до плоскости . Таким образом, если мы определим координаты  некоторой точки М₁, лежащей на прямой a, и получим нормальное уравнение плоскости  в виде , то мы сможем вычислить расстояние  от точки  до плоскости  по формуле  (эта формула была получена в статье нахождение расстояния от точки до плоскости). А это расстояние равно искомому расстоянию между скрещивающимися прямыми.

Теперь подробно.

Задача сводится к получению координат точки М₁, лежащей на прямой a, и к нахождению нормального уравнения плоскости .

С определением координат точки М₁ сложностей не возникает, если хорошо знать основныевиды уравнений прямой в пространстве. А вот на получении уравнения плоскости  стоит остановиться подробнее.

Если мы определим координаты  некоторой точки М₂, через которую проходит плоскость , а также получим нормальный вектор плоскости  в виде , то мы сможем написать общее уравнение плоскости  как .

В качестве точки М₂ можно взять любую точку, лежащую на прямой b, так как плоскость проходит через прямую b. Таким образом, координаты точки М₂ можно считать найденными.

Осталось получить координаты нормального вектора плоскости . Сделаем это.

Плоскость  проходит через прямую b и параллельна прямой a. Следовательно, нормальный вектор плоскости  перпендикулярен и направляющему вектору прямой a (обозначим его ), и направляющему вектору прямой b (обозначим его ). Тогда в качестве вектора  можно взять векторное произведение векторов  и , то есть, . Определив координаты  и  направляющих векторов прямых a и b и вычислив , мы найдем координаты  нормального вектора плоскости .

Итак, мы имеем общее уравнение плоскости : .

Остается только привести общее уравнение плоскости к нормальному виду  и вычислить искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b по формуле .

Таким образом, чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми a и bнужно:

• определить координаты  и  точек М₁ и М₂ соответственно, лежащих на прямых a и b соответственно;
• получить координаты  и  направляющих векторов прямых a иb соответственно;
• найти координаты  нормального вектора  плоскости , проходящей через прямую b параллельно прямой a, из равенства ;
• записать общее уравнение плоскости  как ;
• привести полученное уравнение плоскости  к нормальному виду ;
• вычислить расстояние  от точки  до плоскости  по формуле  - это и есть искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b.