Вопросы по курсу математического анализа

Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

1.       Определение производной. Ее геометрический имеханический смысл. Уравнение касательной к кривой y = f(x).

2.       Связь между существованием производной инепрерывностью функции в точке. 

3.   Производная сумму, произведения, частного.

4.       Производная сложной функции.

5.       Определение обратной функции. Производнаяобратной функции.

6.       Гиперболические функции и их свойства.

7.       Производные функции sin x, cos x, tg x, ctg x, a^x, log_ax, x^a, arcsin x, arctg x, arcos(x) arcctg(x), sh x, ch x, th x, cth x (вывод формул).

8.       Дифференцирование неявных функций.

9.       Логарифмическое дифференцирование.

10.      Дифференциал. Геометрический смысл dy.

11.   Параметрическое задание функции. Инвариантностьформы дифференциала.

12.   Параметрическое задание функции.Дифференцирование параметрически заданных функций.

13.  Производные и дифференциалы высших порядков и ихсвойства.  Формулы Лейбница дляпроизводной произведения.

14.   Теоремы Ферма, Ролля, Лангранжа, Коши.

15.   Раскрытие неопределенности. Теоремы Лопиталя(случай неопределенности беск/беск и 0/0 ).

16.   Раскрытие неопределенностей типа 0⁰, 1^беск, беск^0, 0-беск, беск-беск.

17.   Формула Тейлора для функции с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лангранжа.

18.  Условие разложимости функции по формелуТейлора. Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена функции sin(x), cos(x), ex,ln(x + 1), (1+x)a.

19.   Достаточное условие монотонноговозрастания (убывания) функции на интервале.

20.   Максимальное и минимальное значение функции.Наибольшее и наименьшее значение функции, на отрезке.

21.   Необходимое условие экстремума. Достаточныеусловия экстремума (сформулированные а) с помощью первой производной, б) спомощью второй производной.

22.   Выпуклость, вогнутость кривой на интервале.Достаточные условия. Точки перегиба.

23.   Существование и нахождение асимптот у графикафункции.

24.   Общий план исследования функции и построения ееграфика.

Интегральное исчисление функции одной переменной

1.       Определение первообразной. Теорема об общем виде семейства первообразных для данной функции. Определение неопределенного интеграла.

2.      Основные свойства неопределенного интеграла.Таблица интегралов.

3.       Замена переменной в неопределенном интеграле.Формула интегрирования по частям.

4.       Простейшие рациональные дроби и ихинтегрирование.

5.       Разложение правильной рациональной дроби напростейшие дроби (формулировка правили и его применение).

6.       Интегрирование тригонометрических функций. Интегралы вида ∫R(sinx, cosx)dx

7.       Интегрирование иррациональных функций.Тригонометрические подстановки. (не тот)

8.   Интегрирование вида ∫R(x, sqrt(ax^2+bx+c))dx

9.   Интегрирование вида dx/(x-a)^x sqrt(ax^2+bx+c)

10.       Определенный интеграл как предел интегральнойсуммы. Необходимое и достаточное условие существования. Геометрический смысл.

11.       Основные свойства определенного интеграла.Теорема о среднем.

12.       Производная определенного интеграла с переменным верхним пределом по верхнему пределу.

13.       Формула Ньютона-Лейбница.

14.       Вычисление определенного интеграла подстановкой.Интегрирование по частям.

15.       Вычисление площади криволинейной трапеции икриволинейного сектора.

16.   Вычисление объема тела по площади поперечныхсечений. Объем тела вращения (относительно оси OX и OY).

17.   Длина дуги плоской и кривой в декартовой иполярной системах координат.

18.   Несобственный интеграл с бесконечными пределами. Теорема о сходимости. Сходимость интеграла 

19.   Несобственный интеграл от разрывной функции. Теоремы о сходимости. Сходимость интеграла вида