Скалярное произведение двух векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов ,  обозначается символом  (порядок записи сомножителей безразличен, то есть ).

Если угол между векторами ,  обозначить через , то их скалярное произведение можно выразить формулой

 (1)

Скалярное произведение векторов ,  можно выразить также формулой

, или .

Из формулы (1) следует, что , если  - острый угол, , если  - тупой угол;  в том и только в том случае, когда векторы  и  перпендикулярны (в частности,, если  или ).

Скалярное произведение  называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом . Из формулы (1) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

.

Если векторы  и  заданы своими координатами:

, ,

то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

.

Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

.

Угол  между векторами

, ,

дается формулой , или в координатах

.

Проекция произвольного вектора  на какую-нибудь ось u определяется формулой

,

где  - единичный вектор, направленный по оси u. Если даны углы , , , которые оси u составляет с координатными осями, то  и для вычисления вектора может служить формула

.