Прямая и плоскость. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Прямая и плоскость. 

ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ  

Основными геометрическими фигурами в пространстве являются точка, прямая и  плоскость.  

Через всякие три точки, не лежащие на  одной прямой, можно провести плоскость, и  притом только одну.  

Через любую прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.  

Плоскость делит (разбивает) пространство на два полупространства.  

Две плоскости в  пространстве либо параллельны (т. е. не имеют  общих точек), либо пересекаются по прямой.   

Прямая либо параллельна плоскости (т. е. не имеет с ней рбщих точек), либо пересекает ее в одной точке, либо целиком лежит в плоскости.  

Признак параллельности прямой и  плоскости.  

Если прямая параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости, то она  параллельна этой плоскости.  

Две прямые в пространстве либо  пересекаются (имеют одну общую точку), либо  скрещиваются, либо параллельны

(на рис. прямые а и b пересекаются, прямые а, с и d  параллельны, прямые b и d скрещиваются).

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну; то же справедливо и для параллельных прямых.
Через две скрещивающиеся прямые  невозможно провести плоскость. Признак параллельности прямых.
Две  прямые, каждая из которых параллельна третьей прямой, параллельны между собой.
Прямая, пересекающая плоскость,  называется перпендикулярной (ортогональной, или нормальной) этой плоскости, если она  перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой  плоскости (рис.).


Если прямая перпендикулярна двум непараллельным прямым, лежащим в плоскости, то эта прямая перпендикулярна плоскости.  

Пусть прямая пересекает плоскость в точке А и перпендикулярна плоскости;  отрезок АВ этой прямой (рис.) называется  перпендикуляром, проведенным (или опущенным) к этой плоскости из точки В.  

Длина  перпендикуляра АВ называется расстоянием от точки В до плоскости.
Из произвольной точки вне плоскости можно опустить на плоскость один перпендикуляр и множество наклонных (рис.).  

Если АВ —  перпендикуляр, ВС — наклонная, то АС — проекция наклонной на плоскость, точка С — основание наклонной, точка А — основание  перпендикуляра.
Угол между прямой и плоскостью  определяется как угол между этой прямой и ее  проекцией на плоскость. Теорема о трех перпендикулярах.
Прямая на плоскости перпендикулярна наклонной,  если она перпендикулярна проекции этой  наклонной (рис.). Верно и обратное утверждение.  

Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарные. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.