Параметрическое уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Параметрическое уравнение прямой. 

Параметрические уравнения прямой в пространстве – описание и примеры.

Мы уже выводили параметические уравнения прямой на плоскости, давайте получим параметрические уравнения прямой, которая задана в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz. Зададим в ней прямую a (смотрите раздел способы задания прямой в пространстве), указавнаправляющий вектор прямой  и координаты некоторой точки прямой . От этих данных будем отталкиваться при составлении параметрических уравнений прямой в пространстве.

Пусть  - произвольная точка трехмерного пространства. Если вычесть из координат точки М соответствующие координаты точки М₁, то мы получим координаты вектора (смотрите статью нахождение координат вектора по координатам точек его конца и начала), то есть, .

Очевидно, что множество точек  определяет прямую а тогда и только тогда, когда векторы  и  коллинеарны.

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов  и : , где  - некоторое действительное число. Полученное уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве. Векторно-параметрическое уравнение прямой в координатной форме имеет вид  и представляет собой параметрические уравнения прямой a. Название "параметрические" не случайно, так как координаты всех точек прямой задаются с помощью параметра .

Приведем пример параметрических уравнений прямой в прямоугольной системе координат Oxyzв пространстве: . Здесь .

Составление параметрических уравнений прямой в пространстве.

Итак, параметрические уравнения прямой вида  в фиксированной прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве соответствуют прямой, проходящей через точку , и имеющей направляющий вектор . Таким образом, по известным параметрическим уравнениям прямой мы можем сразу записать координаты направляющего вектора прямой, а по известным координатам направляющего вектора прямой и координатам некоторой точки прямой мы можем сразу составить параметрические уравнения этой прямой в пряомугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки A(

x

₁, 

y

₁, 

z

₁) и B(

x

₂, 

y

₂, 

z

₂), такие что 

x

₁ ≠ 

x

₂, 

y

₁ ≠ 

y

₂ и 

z

₁ ≠ 

z

₂ тоуравнение прямой можно найти используя следующую формулу

x  -  x 1	=	y  -  y 1	=	z  -  z 1
x 2 -  x 1		y 2 -  y 1		z 2 -  z 1