Базис и размерность линейного пространства.

Пусть X — линейное пространство.

Определение. Если существует натуральное число n такое, что X содержит линейно независимую систему из n векторов, а любая система из n + 1 вектора линейно зависима, то X называется n –мерным линейным пространством, а число n – егоразмерностью.

Будем обозначать n –мерное линейное пространство Xn , где n = dimXn — размерность пространства Xn .

Из определения следует, что размерность линейного пространства равна максимальному количеству линейно независимых векторов.

Замечания.

1. Размерность пространства, состоящего только из одного нулевого вектора, равна нулю. Такое пространство называетсятривиальным.
2. Если в линейном пространстве существует любое число линейно независимых векторов, то такое пространство называетсябесконечномерным. Мы будем рассматривать, в основном, конечномерные линейные пространства. Бесконечномерные пространства являются предметом специального изучения.

Определение. Упорядоченная система векторов e1, e2, … , en О X называется базисом в X , если

• система векторов e1, e2, … , en линейно независима;
• любой вектор x пространства X может быть представлен в виде

  x = ξ1e1 + ξ2e2 + … + ξnen.

  (1)

  Выражение (1) называется разложением вектора x по базису e1, e2, … , en .
  Коэффициенты ξ1, ξ2, … , ξn в разложении векторапо данному базису определяются однозначно.
  Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.42).
  Коэффициенты разложения (1) вектора x по базису e1, e2, … , en называются координатами вектора x в этом базисе.
  Удобно использовать обозначение для i –ой координаты ξi = бei, xс и для вектора x = {ξ1, ξ2, … , ξn} . Координаты вектора записывают также в виде матрицы–столбца
  

  ж з з з з з и

  ξ1 ξ2 … ξn

  ц ч ч ч ч ч ш

  который называется координатным столбцом вектора x .
  В n–мерном линейном пространстве Xn существует базис. Он содержит n векторов.
  
  Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.43).
  Замечания.
  1. В линейном пространстве существует бесчисленное множество базисов.
  2. В бесконечномерном пространстве всегда существует базис. Он содержит бесконечное множество векторов. Подробнее о базисах в бесконечномерных пространствах можно прочитать, например, в книге "Функциональный анализ" под ред. С.Г. Крейна (М.: Наука, 1972).
  3. Любая упорядоченная линейно независимая система из n векторов в n–мерном пространстве является базисом.
  Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.44).
  Теорема. Пусть Xn — линейное пространство и e1, e2, … , en — некоторый базис в Xn . Тогда:
  
  1. При сложении векторов их координаты складываются.
  2. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.
  
  Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.45).
  Утверждения теоремы в наших обозначениях выглядят следующим образом:
  
  1. бei, x + yс = бei, xс + бei, yс ;
  2. бei, αxс = αбei, xс .
  
  Это означает, что скобки б · , · с обладают свойством линейности по второму аргументу.