Прямая линия в пространстве. Общее уравнение прямой. Каноническое уравнение прямой.

Прямая линия в пространстве. 

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.

Итак, если уравнения двух непараллельных плоскостей --  и  , то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений

(11.11)

И наоборот, точки, удовлетворяющие такой системе уравнений, образуют прямую, являющуюся линией пересечения плоскостей, чьи уравнения образуют эту систему.

Общее уравнение прямой. 

В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.

Уравнение вида

 (1)

называется общим уравнением прямой.

Угол , определяемый, как показано на рис., называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой k:

Уравнение  называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент, b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.

Если прямая задана общим уравнением

,

то ее угловой коэффициент определяется по формуле

.

Уравнение  является уравнением прямой, которая проходит через точку  (, ) и имеет угловой коэффициент k.

Если прямая проходит через точки (, ), (, ), то ее угловой коэффициент определяется по формуле

.

Уравнение

является уравнением прямой, проходящей через две точки (, ) и (, ).

Если известны угловые коэффициенты  и  двух прямых, то один из углов  между этими прямыми определяется по формуле

.

Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:

.

Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение

, или .

Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

Каноническое уравнение прямой.

Получим канонические уравнения прямой a в трехмерном пространстве. Аналогичные действия мы проводили, когда рассматривали каноническое уравнение прямой на плоскости.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz. Зададим в ней прямую. Выберем следующий способ задания прямой линии в пространстве: укажем точку, через которую проходит прямая a, и направляющий вектор прямой a. Будем считать, что точка  лежит на прямой а и  - направляющий вектор прямой а.

Очевидно, что множество точек  трехмерного пространства определяет прямую атогда и только тогда, когда векторы  и  коллинеарны.

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов  и  в координатной форме. Для этого нам нужно знать координаты этих векторов. Координаты вектора  нам известны из условия. Осталось вычислить координыты вектора  - они равны разности соответствующих координат точек  и , то есть,  (при необходимости смотрите нахождение координат вектора по координатам точек). Теперь записываем условие коллинеарности векторов  и :
, где  - произвольное действительное число (при точки  и  совпадают, что нас тоже устраивает).

Если , то каждое уравнение системы  можно разрешить относительно параметра  и приравнять правые части:

Полученные уравнения вида  в заданной прямоугольной системе координат Oxyz определяют прямую a. Уравнения  есть канонические уравнения прямой в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz.