Студент МТУСИ: Квадратичная форма. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

суббота, 3 января 2015 г.

Квадратичная форма. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Квадратичная форма.

Квадратичная форма переменных

- функция

- коэффициенты квадратичной формы. Без ограничения общности считают

тогда

Если переменные

принимают действительные значения и

квадратичная форма называется действительной.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть задана квадратичная форма:

\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j

В силу симметричности матрицы

a_{ij} (a_{ij}=a_{ji})

квадратичную форму можно переписать следующим образом:

{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j}={\sum_{i=1}^n ({a_{ii}{x_i}^2+\sum_{j=i+1}^n {2 a_{ij} x_i x_j}})}

Возможны два случая:

хотя бы один из коэффициентов $a_{ii}$ при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать $a_{11} \neq 0$ (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);
все коэффициенты $~a_{ii} = 0, i = 1, 2, ..., n$ , но есть коэффициент $a_{ij}, i \neq j$ , отличный от нуля (для определённости пусть будет $a_{12} \neq 0$ ).

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

f(x_1, x_2, ..., x_n) = (a_{11}x_1^2 + 2a_{12}x_1x_2 + ... + 2a_{1n}x_1x_n) + f_1(x_2, x_3, ..., x_n) =

= \frac{1}{a_{11}}(a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n)^2 - \frac{1}{a_{11}}(a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n)^2 + f_1(x_2, x_3, ..., x_n) =

= \frac{1}{a_{11}}y_1^2 + f_2(x_2, x_3, ..., x_n)

, где

~y_1 = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +...+ a_{1n}x_n

, а через

~f_2(x_2, x_3, ..., x_n)

обозначены все остальные слагаемые.

~f_2(x_2, ..., x_n)

представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных

~x_2, x_3, ..., x_n

.

С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Заметим, что

y_1 = \frac{1}{2}\frac{\partial f}{\partial x_1}

Второй случай заменой переменных

~x_1 = y_1 + y_2, x_2 = y_1 - y_2, x_3 = y_3, ..., x_n = y_n

сводится к первому.

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)