Смешанное произведение векторов.

Тройкой векторов называются три вектора, если указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим. Тройку векторов записывают в порядке нумерации; например, запись , ,  означает, что вектор  считается первым,  - вторым,  - третьим.

Тройка некомпланарных векторов , ,  называется правой, если составляющие ее векторы, будучи приведены к общему началу, располагаются в порядке нумерации аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы правой руки. Если векторы , ,  расположены аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы левой руки, то тройка этих векторов называется левой.

Смешанным произведенем трех векторов , ,  называется число, равное векторному произведению , умноженному скалярно на вектор , то есть .

Имеет место тождество, ввиду чего для обозначения смешанного произведения  употребляется более простой символ . Таким образом,

, .

Смешанное произведение  равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , , , взятого со знаком плюс, если тройка  правая, и со знаком минус, если эта тройка левая. Если векторы , ,  компланарны (и только в этом случае), смешанное произведение  равно нулю; иначе говоря, равенство

есть необходимое и достаточное условие компланарности векторов , , .

Если векторы , ,  заданы своими координатами:

, , ,

то смешанное произведение  определяется формулой

.

Напомним, что система координатных осей предполагется правой (вместе с тем является правой и тройка векторов , , ).