Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Угол между прямыми.

Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. 

Если уравнения прямой заданы в общем виде

A₁x + B₁y + C₁ = 0,         

A₂x + B₂y + C₂ = 0,     (6)

угол между ними определяется по формуле

     (7)

4. Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.     (8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

     (9)

Условие перпендикулярности двух прямых

Условием перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями

1.	у= а1 х+ b1 у= а2 х+ b2

служит соотношение

2.	а1 · а2=−1

т.е. две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1, и не перпендикулярны, если оно не равно -1.

Пример 1.

Прямые

3.	у= 3х у=− 1 3  х

перпендикулярны, так как

4.	а1 · а2= 3 ·(− 1 3 )=−1

Пример 2.

Прямые

5.	у= 3х у= 1 3  х

не перпендикулярны, так как

6.	а1 · а2= 3 ·( 1 3 )= 1

Если уравнение одной из двух прямых не содержит ординаты (т.е. прямая праллельная оси OY), то эта прямая перпендикулярна к другой прямой при условии, что уравнение последней не содержит абсциссы (тогда вторая прямая параллельная оси абсцисс). В противном случае прямые не перпендикулярны. Например прямые х=5 и у=2х не перпендикулярны.

Условие перпендикулярности двух прямых через определитель

Если две прямые представлены уравнениями

7.	A1 x+ B1 y+ C1= 0 A1 x+ B1 y+ C1= 0

то условие их перпендикулярности есть

8.	A1 A2+ B1 B2= 0

или в другом обозначении (определитель второго порядка)

9.	A1  −B1   B2  A2   = 0

Пример 3.

Прямые

10.	2x+ 5y−8= 0 5x−2y−3= 0

перпендикулярны. Здесь

11.	А1= 2, А2= 5, В1= 5, В2=−2,

значит,

12.	А1 А2+ В1 В2= 10 – 10= 0

Пример 4.

Прямые

13.	1 2 x− 1 3 y= 0 2x−3y= 0

не перпендикулярны, так как здесь

14.	А1 А2+ В1 В2= 2

Угол между прямыми.

Пусть две неперпендикулярные прямые L1, L2 (взятые в данном порядке) представляются уравнениями

1.	у= а1 х+ b1 у= а2 х+ b2

Тогда угол между двумя прямыми найдется по формуле

2.	tg(θ)= a2−a1 1+ a1·a2

Угол между двумя прямыми

Если прямые L1 и L2 перпендикулярны (θ = ± 90°)

то выражение стоящее в знаменателе, обращается в нуль

3.	1+ a1·a2= 0

и частное перестает существовать. Одновременно перестает существовать («обращается в бесконечность») tg(θ). Формула (2), понимаемая буквально, теряет смысл, но в этом случае ее нужно понимать условно. Именно, всякий раз, как в знаменателе появляется нуль, угол θ надо считать равным ±90° (как поворот на +90°, так и поворот на -90° совмещает любую из перпендикулярных прямых с другой).

Если хотя бы одна из прямых L1, L2 (или обе) параллельна оси OY

то формула (2) вовсе неприменима, ибо тогда одну из прямых (или обе) нельзя представить уравнением вида (1).

В этом случае угол θ определяется следующим образом:

а) когда прямая L2 параллельная оси OY, а L1 не параллельна, применяем формулу

4.	tg(θ)= 1 a1

б) когда прямая L1 параллельна оси OY, а L2 не параллельна, применяем формулу

5.	tg(θ)=− 1 a1

в) когда обе прямые параллельны оси OY, они параллельны и между собой, так что

6.

tg(θ)= 0