Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

Пусть линейный оператор ^A: Xn → Xn в базисе e имеет матрицу Ae . Найдем матрицу этого оператора Af в базисе f . Пусть C — матрица перехода от базиса e к базису f .

Теорема. Преобразование матрицы оператора ^A при переходе от "старого" базиса e к "новому" базису f определяется формулой:

Af = C −1 Ae C.

(1)

Доказательство.

Рассмотрим произвольный вектор x и его образ y = ^Ax . Обозначим координатные столбцы этих векторов: Xe и Ye — в "старом" базисе e ; Xf и Yf — в "новом" базисе f .

Тогда

Ye = Ae · Xe

и

Yf = Af · Xf.

Отсюда, используя формулы преобразования вектора, получаем

Yf = C −1 Ye = C −1 Ae Xe = C −1 Ae C Xf.

Сравнивая с выражением Yf = Af · Xf , приходим к формуле (1), которую требовалось доказать.