пятница, 2 января 2015 г.

Прямая линия в пространстве. Общее уравнение прямой. Каноническое уравнение прямой.

Прямая линия в пространстве. 

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.
Итак, если уравнения двух непараллельных плоскостей -- $ {A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0}$ и $ {A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0}$ , то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0.\end{array}\right.$(11.11)

И наоборот, точки, удовлетворяющие такой системе уравнений, образуют прямую, являющуюся линией пересечения плоскостей, чьи уравнения образуют эту систему.

Общее уравнение прямой. 

В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.
Уравнение вида
 (1)
называется общим уравнением прямой.
Угол , определяемый, как показано на рис., называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой k:

Уравнение  называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент, b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.
Если прямая задана общим уравнением
,
то ее угловой коэффициент определяется по формуле
.
Уравнение  является уравнением прямой, которая проходит через точку  () и имеет угловой коэффициент k.
Если прямая проходит через точки (), (), то ее угловой коэффициент определяется по формуле
.
Уравнение
является уравнением прямой, проходящей через две точки () и ().
Если известны угловые коэффициенты  и  двух прямых, то один из углов  между этими прямыми определяется по формуле
.
Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:
.
Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение
, или .

Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

Каноническое уравнение прямой.

Получим канонические уравнения прямой a в трехмерном пространстве. Аналогичные действия мы проводили, когда рассматривали каноническое уравнение прямой на плоскости.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz. Зададим в ней прямую. Выберем следующий способ задания прямой линии в пространстве: укажем точку, через которую проходит прямая a, и направляющий вектор прямой a. Будем считать, что точка формула лежит на прямой а и формула - направляющий вектор прямой а.
Очевидно, что множество точек формула трехмерного пространства определяет прямую атогда и только тогда, когда векторы формула и формула коллинеарны.
изображение
Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов формула и формула в координатной форме. Для этого нам нужно знать координаты этих векторов. Координаты вектора формула нам известны из условия. Осталось вычислить координыты вектора формула - они равны разности соответствующих координат точек формула и формула, то есть, формула (при необходимости смотрите нахождение координат вектора по координатам точек). Теперь записываем условие коллинеарности векторов формула и формула:
формула, где формула - произвольное действительное число (при формулаточки формула и формула совпадают, что нас тоже устраивает).
Если формула, то каждое уравнение системы формула можно разрешить относительно параметра формула и приравнять правые части:
формула
Полученные уравнения вида формула в заданной прямоугольной системе координат Oxyz определяют прямую a. Уравнения формула есть канонические уравнения прямой в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz

1 комментарий:

  1. Здравствуйте. Весь материал был взят из интернета. Боюсь мне теперь уже не найти сайтов откуда я его брал.

    ОтветитьУдалить